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Proprietà dei logaritmi o sorprendenti - il prossimo ...

Il bisogno di calcoli è apparso negli umaninon appena è riuscito a quantificare gli oggetti che lo circondano. Si può presumere che la logica della valutazione quantitativa abbia portato gradualmente alla necessità di calcoli del tipo "addizione-sottrazione". Queste due azioni più semplici sono inizialmente di base: tutte le altre manipolazioni con i numeri, note come moltiplicazione, divisione, aumento di potenza, ecc. - questa è una semplice "meccanizzazione" di alcuni algoritmi computazionali, che si basano sulla più semplice aritmetica - "add-sottrarre". Qualunque cosa fosse, ma la creazione di algoritmi per il calcolo è un importante risultato del pensiero, ei loro autori lasceranno per sempre il loro segno nella memoria dell'umanità.

Da sei a sette secoli fa nella regione marittimala navigazione e l'astronomia aumentarono la necessità di grandi quantità di calcoli, il che non sorprende, da allora È il Medioevo che è noto per lo sviluppo della navigazione e dell'astronomia. In accordo con l'espressione "bisogno di creare una frase", diversi matematici hanno avuto l'idea di sostituire la moltiplicazione molto laboriosa di due numeri per semplice addizione (l'idea di sostituire la divisione per sottrazione era anche considerata duale). La versione funzionante del nuovo sistema informatico fu presentata nel 1614 nel lavoro di John Napier con un titolo molto notevole intitolato "Descrizione della sorprendente tabella dei logaritmi". Naturalmente, l'ulteriore miglioramento del nuovo sistema è continuato ulteriormente, ma le proprietà di base dei logaritmi sono state delineate da Napier. L'idea del sistema di calcolo usando i logaritmi era che se una certa serie di numeri forma una progressione geometrica, allora i loro logaritmi formano anche una progressione, ma già aritmetica. Con le tabelle precompilate, il nuovo metodo di calcolo dei calcoli semplificati e la prima regola delle diapositive (1620) divenne, forse, il primo calcolatore antico e molto efficace: uno strumento ingegneristico indispensabile.

Per i pionieri, la strada è sempre con dossi. Inizialmente, la base del logaritmo veniva presa senza successo e l'accuratezza dei calcoli era bassa, ma già nel 1624 le tabelle aggiornate furono pubblicate con una base decimale. Le proprietà dei logaritmi seguono dall'essenza della definizione: il logaritmo del numero b è il numero C, che, essendo il grado della base del logaritmo (il numero A), risulta nel numero b. La versione classica del record assomiglia a questo: logA (b) = C - che essi leggono in questo modo: il logaritmo di b, base A, è il numero C. Per eseguire azioni utilizzando numeri logaritmici fuori dall'ordinario, è necessario conoscere un certo insieme di regole note come "proprietà logaritmi ". In linea di principio, tutte le regole hanno un sottotesto comune - come aggiungere, sottrarre e trasformare logaritmi. Ora impareremo come farlo.

Logaritmico zero e uno

1. logA (1) = 0, il logaritmo di 1 è uguale a 0 per qualsiasi motivo - questa è una conseguenza diretta dell'innalzamento del numero a zero gradi.

2. logA (A) = 1, il logaritmo dello stesso numero della base è 1, che è anche una verità ben nota per qualsiasi numero nel primo grado.

Addizione e sottrazione dei logaritmi

3. logA (m) + logA (n) = logA (m * n) - la somma dei logaritmi di più numeri è uguale al logaritmo del loro prodotto.

4. logA (m) - logA (n) = logA (m / n) - la differenza tra i logaritmi dei numeri, analogamente alla precedente, è uguale al logaritmo del rapporto di questi numeri.

5. logA (1 / n) = - logA (n), il logaritmo del numero reciproco è uguale al logaritmo di questo numero con un segno meno. È facile vedere che questo è il risultato dell'espressione precedente 4 con m = 1.

È facile vedere che le regole 3-5 implicano la stessa base del logaritmo in entrambe le parti delle uguaglianze.

Esponenti nelle espressioni logaritmiche

6. logA (mn) = n * logA (m), il logaritmo di un numero alla potenza n è uguale al logaritmo di questo numero moltiplicato per l'esponente n.

7. log (Ac) (b) = (1 / c) * logA (b), che legge "il logaritmo del numero b, se la base è della forma Ac, è uguale al prodotto del logaritmo di b con la base A e il numero inverso di c".

Formula per cambiare la base del logaritmo

8. logA (b) = - logC (b) / logc (A), il logaritmo del numero b con la base A quando si sposta alla base C viene calcolato come il quoziente del logaritmo di b con la base C e il logaritmo con la base C di un numero uguale alla precedente base A, e con "meno".

I logaritmi sopra elencati e le loro proprietàcon un uso corretto, possono semplificare il calcolo di grandi matrici numeriche, il che riduce i tempi di esecuzione dei calcoli numerici e garantisce un'accuratezza accettabile.

Non è sorprendente che nella scienza e nella tecnologiale proprietà dei logaritmi dei numeri vengono applicate a una rappresentazione più naturale dei fenomeni fisici. Ad esempio, è ampiamente noto l'uso di valori relativi - decibel quando si misura l'intensità del suono e della luce in fisica, la magnitudine assoluta in astronomia, il pH in chimica, ecc.

Efficienza dei calcoli logaritmici facilecontrolla, ad esempio, se moltiplichi 3 numeri a cinque cifre "manualmente" (in una colonna), utilizzando le tabelle dei logaritmi su un foglio di carta e utilizzando una regola di scorrimento. Basti dire che in quest'ultimo caso i calcoli impiegheranno circa 10 secondi. Ciò che sorprende di più è che su un calcolatore moderno questi calcoli richiederanno non meno tempo.

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